기타 - 켈리 시스템 배팅

켈리 시스템은 켈리 기준(Kelly Criterion)을 활용한 시스템 베팅입니다. 시스템 베팅은 베팅 금액을 결정하는 자금 관리 방법입니다. 그래서 최적의 투자 금액을 판단하기 위한 기준을 제시하는 켈리 공식 자체가 시스템 베팅 성격을 띄고 있습니다. 켈리 기준은 1956년, 존 켈리(John L. Kelly)가 미국의 회사 AT&T의 산하인 ‘벨 연구소(Bell Labs)’에서 근무하던 시절 발표한 논문에 수록된 공식입니다. 본래의 목적은 전화 전송 채널에서 나올 수 있는 최대의 속도를 산출하기 위한 것이었는데, 이를 이용해 게임 혹은 주식 투자에서 적절한 투자금을 산출할 수 있게 되었습니다.

켈리 기준은 예상 수익률과 위험성을 감안했을 때 총 자본금을 극대화할 수 있는 최적의 베팅 금액을 산출하는 공식입니다. 시스템 베팅 외에도 스포츠 베팅, 주식 투자 등 많은 분야에서 현실적인 유효성을 인정 받았습니다. 장기적으로 적용했을 때 다른 어떤 베팅 기법보다 우월한 성과를 기대할 수 있다는 사실이 검증된 것입니다.

켈리 시스템 특징

켈리 기준은 조건이 단순할 수록 좋기 때문에, 50% 확률의 2 배당 게임처럼 확률적으로 단순한 카지노 게임에서 더욱 효과를 발휘합니다. 다만 독립시행인 게임의 경험적 결과가 큰 수의 법칙이 발현된 수학적 확률에 수렴할 만큼 많은 시행 횟수를 확보해야 합니다. 즉, 카지노에서 설정한 게임 확률이 50%라면, 실제로 게임을 시행했을 때 50% 확률의 결과가 나올 만큼 충분히 많은 게임을 시행해야 한다는 의미입니다.

켈리 시스템의 전제는 특정한 조건을 충족했을 때 총 자본금이 불어날 수 있는 최적의 베팅 규모가 있다는 것입니다. 그래서 순간적인 충동에 의해 베팅하는 것이 아니라, 정확한 수학적 공식에 의해 산출된 금액을 베팅하는 것이 유리합니다. 이는 다른 시스템 베팅의 목적과도 동일합니다. 따라서 켈리 기준은 사용자에게 매번 얼마의 금액을 베팅하는 것이 효과적인지 알려주는 것이 목적입니다.

켈리 시스템 이용 방법

얼마의 금액을 베팅해야 하는지 여부는 비율을 통해 계산합니다. 예를 들어 켈리 기준 값이 0.05, 5%라면, 총 자본금의 5%을 베팅해야 한다는 것입니다. 수학적, 혹은 통계적으로 이 정도의 금액을 베팅하는 것이 옳다고 알려주는 것입니다. 켈리 기준 공식은 다음과 같습니다.

최적의 베팅 금액 비율 = ( B * P – Q ) / B

• B = 소수점 배당률 -1
• P = 성공 확률
• Q = 실패 확률 ( 1 – P )

동전 던지기를 예로 들어보겠습니다. 앞면이 나오면 2배의 당첨금을 받지만, 이 동전은 약간 기울어져 52% 확률로 앞면이 나온다고 가정합니다. 이런 경우 켈리 공식을 적용하면 아래와 같습니다.

( 1 * 0.52 – 0.48 ) / 1 = 0.04 = 최적의 베팅 금액은 자본금의 4%

• B = 2 – 1 = 1
• P = 0.52
• Q = 1 – 0.52 = 0.48

켈리 공식에 따르면 최적의 베팅 금액은 4%이므로, 만약 100원의 자본금을 갖고 있다면 4원을 베팅하는 것이 합리적입니다. 켈리 기준 결과값이 양수라면 사용자에게 유리한 베팅이며, 자본금이 해당 결과값 만큼 증가할 가능성이 높다는 것을 시사합니다. 반면 결과값이 음수라면 불리한 베팅이며, 자본금이 감소할 확률이 높아 베팅하면 안 된다는 의미입니다. 그리고 이렇게 산출된 결과값을 반복적으로 베팅합니다. 예를 들어 60% 확률의 2 배당 게임이 있다고 가정합니다. 그러면 켈리 결과값은 다음과 같습니다.

( 1 * 0.6 - 0.4 ) / 1 = 0.2

켈리 기준에 의한 최적의 베팅 금액은 자본금의 20%가 됩니다. 자본금 100원으로 시작했다면, 최초 베팅 금액은 20원입니다. 그리고 게임 결과에 따라 남은 자본금의 20%를 베팅합니다. 구체적인 진행 과정은 다음과 같습니다.

켈리 시스템 장점

포지티브 시스템이기 때문에 연승하게 될 경우 베팅 금액이 증가하여 이익을 극대화할 수 있습니다. 베팅 금액은 총 자본금 대비 비율로 결정되므로, 승리할 수록 베팅 금액이 증가하게 됩니다. 또한 패배시 총 자본금이 감소하여 베팅 금액도 자연스럽게 줄어듭니다. 손실을 억누르는 동시에 다시 이익을 높일 수 있는 잠재력을 제공하는 것이지요.

무엇보다 베팅 금액이 명확한 근거 없이 시스템 베팅에 의해 이루어지지 않습니다. 수학적으로 유용성이 증명된 켈리 공식에 의해 베팅 금액을 결정하기 때문에 장기적으로 게임을 거듭할 수록 가장 효과적인 베팅 금액으로 게임을 진행하게 됩니다. 그만큼 패배를 거듭하더라도 위험성이 낮아 안심할 수 있습니다. 수학적으로 가장 효과적인 베팅 금액에 따라 진행하기 때문입니다.

켈리 시스템 단점

다른 시스템 베팅은 이전 게임의 결과에 따라 다음 베팅 금액이 달라집니다. 하지만 켈리 기준은 최적의 베팅 비율이 얼마인지 알려주기만 할 뿐, 상황에 따라 베팅 비율이 달라지지 않습니다. 그래서 끝도 없이 패배가 이어질 때도 그저 정해진 비율의 금액만 묵묵히 베팅할 뿐, 아무런 대책이 없이 손 놓고 당하는 수밖에 없습니다.

무엇보다 켈리 기준의 가장 큰 문제는 정확한 확률을 계산하는 일입니다. 켈리 기준은 성공 확률과 실패 확률을 대입해야 하는데, 독립시행인 카지노 게임에서 다음 게임의 정확한 승리 확률과 패배 확률을 계산하는 것은 불가능합니다. 그렇다고 해서 카지노에서 설정한 승률을 적용할 수도 없습니다. 카지노가 설정한 확률을 대입하면 켈리 기준은 항상 음수만 나오기 때문입니다. 실제로 카지노 게임 중에 양수가 나오는 경우는 거의 없습니다.

예를 들어 바카라의 플레이어 승리 확률은 44.62%에 2 배당입니다. 이를 켈리 기준에 대입하면 -10%의 음수가 나옵니다. 카지노에서 돈을 벌기 위해 켈리 기준을 사용하는 것인데, 켈리 기준에 따르면 카지노를 이용하지 말라는 결론이 다다르게 되는 것이지요. 사실 켈리 기준은 애초에 저평가된 배당률을 찾아 최적의 베팅 규모를 결정하는 것이 목적입니다. 결국 스포츠 베팅이나 주식 종목처럼 저평가된 배당률이 존재하지 않는 카지노에선 사용이 어렵습니다. 켈리 기준이 스포츠 베팅이나 주식 투자에서 주류로 자리잡은 데에는 이러한 배경이 있습니다.

뒤집어 말해, 카지노 게임은 저평가된 베팅 항목도 없지만 있다고 해도 사용자가 이를 직접 찾아야만 합니다. 모든 게임에 적용할 수 있는 범용성이 떨어진다는 의미입니다. 더구나 양수가 나오는 베팅 항목을 찾아 정확하게 확률을 계산한다고 해도, 이득이 폭발적으로 증가하지 않습니다. 장기적인 관점에서 이득을 볼 수 있는 기법이긴 하지만, 적은 이익을 위해 오랜 시간이 필요하며 선결할 과제도 많다는 것이 문제입니다.

그래서 현실적으로 켈리 기준보다 변동성이 낮고, 켈리 기준에서 제어할 수 없는 다른 변수까지 고려한 부분적 적용을 권고하고 있습니다. 가장 쉽게 도출할 수 있는 부분적 적용 방법은, 켈리 기준 결과값의 특정 비율만 베팅하여 최초 베팅 금액을 극단적으로 낮추는 것입니다.